IV.Моделиране на материални тела

IV.5.1. Методи за моделиране с обемни примитиви (Constructive solid geometry )

            Тези методи представят телата като булеви конструкции (CSG дървета), съставени от краен брой примитивни тела. Листата на CSG –дървото съдържат обемните примитиви, а възлите регуляризираните булеви операции . При единия клас методи като примитиви се използват полу пространства, а при другия –крайни примитиви (например блок, цилиндър, сфера).

             Описанието на крайните обемни примитиви може да се зададе с полу пространства, ограничени от равнините на страните им, параметрично или чрез представяне с гранични повърхнини. При параметричното задаване всеки примитив се определя от името си (задаващо типа му) и набор от параметри (други характеристики- размери, вид материал и др.).

            Частен случай на моделиране с крайни примитиви е клетъчното разлагане (Cell decomposition). При този метод се използват еднотипни примитиви, които  чрез слепване образуват разнообразни по форма тела.

Методите за моделиране с примитиви имат сериозни предимства:

гарантират семантичната непротиворечивост на модела (получените модели съответстват на реалните тела);

удобни са при задаване на параметрични фамилии от тела.

Основни недостатъци са:

ограничение на набора от допустими операции и конструктивни техники;

сложна реализация на локалните операции и получаването на технически чертежи;

трудно съчетаване с методите за моделиране на повърхнини със свободна форма за образуване на интегрирани системи за моделиране;

за получаване на изображения със сенки и светлосенки е необходима допълнителна обработка на модела за извличане на информация за ребрата и страните на тялото (model evolution) .

            За да се избегнат посочените недостатъци, тези методи обикновено се съчетават с представянето с гранични повърхнини. Примерни набори от примитиви в по-разпространените системи са: сфера, конус, цилиндър пирамида, призма, плато и др.

IV.5.2. Методи за моделиране с гранични елементи

            При тези методи телата се задават чрез описание на границата им, състояща се от гранични елементи- върхове, ребра, страни. Еднозначното описание на тялото зависи от информацията за границата, тоест кои гранични елементи и връзки между тях са дадени. Например представянето на тела като скелет (съвкупност) от ребра не определя еднозначно тялото. На (фиг. III.4.5.2.1) са илюстрирани алтернативни тълкувания (б, в) на модела (а).

фиг. IV.5.2.1

            От друга страна съхраняването на информация само за граничните повърхнини е достатъчно, ако телата са изпъкнали. За неизпъкнали тела тази информация не е достатъчна. Така се достига до идеята за съхранение на геометрични и топологични данни за моделирания обект.

IV.5.3. Метод за моделиране с гранични повърхнини (boundary representation )

            При този метод тялото се задава чрез съвкупността от граничните си повърхнини. В термините на йерархичното представяне тялото се описва като йерархия от 3 нива. На всяко ниво са разположени множества от съответни еднотипни елементи- страни, ребра, върхове на тялото.

Общото описание на метода се състои в следното: Границата на всяко тяло се представя като съвкупност от части, всяко от които заема крайна площ и лежи върху повърхнина със зададено уравнение. Такава част се нарича страна (face F). Страните се пресичат по двойки в ребра (edges E). Едно ребро представлява част от крива, ограничена от два върха. Всеки връх (vertex V) се задава от координатна точка.

            Страните могат да представляват много свързани области и да се ограничават от един или няколко контура (цикли от ребра).

Моделът на материалното тяло се състои от две части (фиг. IV.5.3.1).

            Първата представлява описание на начина, по който отделните страни, ребра и върхове са свързани помежду си. Втората част се състои от координатите на върховете, уравненията на повърхнините, върху които лежат страните на тялото и други геометрични данни. Те задават геометрията на тялото. 

фиг. IV.5.3.1

            Важна особеност на този тип модели е начинът на съхранението им. Изследвани са различни начини за съхранение на  другите йерархични структури (осмично CSG-дърво), обаче при метода на представяне с гранични повърхнини съществуват все още спорни проблеми:

взаимодействието между топологията и геометрията на тялото;

тестове за геометрична и топологична непротиворечивост;

начинът на съхранение на модела и тестовете;

условието за дискретност на числовите данни и др.

Най-разпространената структура за съхранение е “winged-edge”. В центъра на съхранение на този начин е реброто (фиг. III.4.5.3.2).

            То се записва с указатели към ограждащите върхове, двете страни, които се пресичат в него, четирите следващи (или предхождащи) ребра от контурите на тези страни. Основното свойство на такова съхранение  е, че с негова помощ  може да се представи произволен планарен граф, описващ топологията на тялото по естествен начин.

фиг. IV.5.3.2

            Връзките между двойките основни топологични елементи- връх/ ребро или страна/ ребро  в планарния граф се кодират явно (фиг. III.4.5.3.3)

                                                                       

            фиг. IV.5.3.3

            Представяйки произволен планарен граф, чрез тази структура може да се представи и съответстващото му материално тяло, ако има такова.

            Основният проблем при моделирането с гранични повърхнини се състои в това, че реалните материални тела се изграждат от голям брой страни, 

ребра, върхове и е трудно да се проверяват ограниченията, осигуряващи топологичната непротиворечивост на представянето. Доказва се, че процесът на създаване на модела и редактирането му може да се разложи на елементарни операции- Ойлеровите оператори. Те се основават на формулата на Ойлер за произволни многостени:

V - E + F = 2(S - H) + R                                                                                        (IV.5.3.4)

,където V е общият брой на върховете;

E - общият брой на ребрата;

F - общият брой на страните;

S - общият брой на отделните компоненти на тялото;

H - общият брой на кухините;

R - общият брой на вътрешните цикли в страните.

Тази формула дава уравнението на равнината в 6-мерно хиперпространство, където са изпълнени условията:

            VZH = 0 ;                                                                                  (IV.5.3.4)

X = (V, E, F, S, H, R) ;

Z(X) = V - E + F - 2S + 2H - R

Следователно всяка точка върху 5-мерната равнина задава реално тяло- многостен и се представя като линейна комбинация от 5 линейно- независими базисни вектора (5 оператора). Всяко тяло може да се представи като комбинация от петте базисни оператора. Изборът им за различните системи е различен. Той се определя в голяма степен от съображения за удобство при конструирането на модела. Класическият им вид се задава така:

		V	E	F	R	H	S
Направи ребро ,връх	mev	1	1	0	0	0	0
Направи страна ,ребро	mfe	0	1	1	0	0	0
Направи тяло, страна връх	msfv	1	0	1	0	0	1
Направи тяло	msh	0	0	0	0	1	1
Направи ребро, унищожи пръстен	Me-kr	0	1	0	-1	0	0
Запис на формулата на Ойлер		1	-1	1	-1	2	2

фиг. IV.5.3.5

            Основно предимство на този метод е възможността за съчетаване с методи за моделиране на повърхнини със свободна форма, за получаване на интегрирани системи за моделиране, в които тялото се ограничава не само от плоски стени или прости квадратични повърхнини (цилиндрична, конична, сферична). В този случай представянето с гранични повърхнини по естествен начин ще бъде надстроено, като в съответните структури вместо аналитичните уравнения на равнините, върху които лежат страните на тялото, ще се записват криволинейните участъци от границата на тялото.                                                                                                   Друго предимство е възможното съхранение на допълнителна информация за отделните елементи. Обемът на използваната памет е по-голям от този при моделирането с обемни примитиви. Основният проблем за осигуряване на семантична коректност на модела се решава чрез използване на Ойлеровите оператори. Те съвместно с метода за моделиране с транслационно/ ротационно движение са основно средство за въвеждане на данни и построяване на модела. 

фиг. IV.5.3.6

IV.5.4.Метод на транслационното/ ротационно движение

            При движение на крива (повърхнина, тяло) по дадена траектория се описва тримерен обем. Когато описания обем е краен, се получават транслационни/ ротационни тела. Моделът задаващ изходното тяло е двойката образувателно тяло и траектория. При този метод практически се описва начинът  на получаване на изходното тяло. Много от съществуващите системи за моделиране го използват като метод за въвеждане на първоначално описание на тялото.

            Методът е приложим за тела с ротационна/ транслационна симетрия. Той може да се използва и при тест за динамично пресичане на две тела. Едно интересно приложение на метода е получаване на ефекти при компютърна анимация.

            Едно от най-важните направления при развитие на програмното осигуряване е разработка на системи, които автоматично генерират мрежа от крайни елементи. Съществуващите системи като цяло работят върху тела, представени с помощта на система от прости елементи- кубове и тетраедъри. Тези представяния са близки до модела на клетъчното разлагане.                                                  

Съществуват алгоритми за автоматична триангулация на тела, описани чрез метода на граничните повърхнини, метода на двумерните примитиви и метода на осмичното дърво. Проблемите при съвместяване на моделите в  системите за моделиране на тела с моделите, използвани в системите за автоматично генериране на мрежа от крайни елементи се изследват.

            Геометричното моделиране все още е област на активни научни изследвания.    По важни направления са:

• трябва да се обогатят познанията за обектите на моделирането- тела, принадлежащи към класа на множествата, които не са много свързани области (no manifold);
• да се усъвършенстват съществуващите  и разработят нови надеждни методи за автоматизация на процеса на проектиране във все по-широк спектър от приложения;
• автоматизирано генериране на мрежа от крайни елементи;
• интегрирани CAD, CAM системи;
• проектиране и симулация на сложни роботи и механизми.