III.Технологии на създаване и използване на цифрови модели

Съществува голямо многообразие от методи за създаване на ЦМР. Но в практиката са се наложили два: регулярен и нерегулярен.

III.3.1.Регулярен метод

            При регулярният (фиг. III.3.1.1) районът зает от дискретните елементи на теренната повърхнина (най често точки, равномерно разпределени (Random point) се покрива условно с мрежа от квадрати със страна D и линии успоредни на координатните оси. Ще приемем за простота, че план- квадратната мрежа има форма на правоъгълник със страни DX и DY, така че i-линиите да бъдат успоредни на оста Y, а j- линиите на оста X .

            Точките на регулярната мрежа, представляващи върхове на квадратче, в чиято вътрешност е попаднала изходна точка (точка от дискретизиране при заснемане на теренната повърхнина) ще наричаме опорна точка.

 

                                                                                                                                                                            (фиг. III.3.1.1)

Ако се възприеме за (фиг. III.3.1.1) следната номерация на i  и j линиите

                                                                                                         (III.3.1.2)

и координатите на пресечната точка между i-тата и j-тата линия съответно с X_ij и Y_ij, a за височината Z_ij и координатите на точка (i = 1, j = 1) с X₁ и Y₁ то ще имаме (III.3.1.3) :

                                                                 (III.3.1.3)

Между I _MAX, J _MAX, DX, DY, D съществуват следните отношения:

                                                                                                         (III.3.1.4)

Ако изходните точки са равномерно разпръснати (Random point) върху цялата територия, заградена от линиите i = 1, j = I _MAX,  j = 1,  j =  J _MAX и ако техният брой е N то е в сила зависимостта (III.3.1.5) за необходимото средно разстояние:

                                                                                                            (III.3.1.5)

            Ако на изходната точка М съответстват опорните точки М1, М2, М3 и М4 от план- квадратната мрежа, за ЦМР интерес представлява възможността да се определят височините на върховете М1, М2, М3 и М4. Най-голямо влияние върху тях ще окаже точка М. Дефинираме локално поле със страна DM, чийто център съвпада с M1. От експериментални изследвания се установяват оптимални размери на локалното поле. Възможно е то да е в границите(III.3.1.6):

                                                                                                    (III.3.1.6)

            Ако големината на решетката е с малки размери ( D << S_ср. ), би могло да се приеме:

                                                                                  (III.3.1.7)

            Ако се приеме че точките от локалното поле за М образуват множеството , разглеждайки МК като “име” на коя да е точка М1, М2, М3, М4, височината на МК ще се определи като средно- тежестно от височините на точките от множеството .

     ,

е тежестта на височината                                                                   (III.3.1.8)

            Ако с  означим разстоянието между определяната точка МК и всяка една дадена точка от множеството , то за тежестите  ще получим (III.3.1.9).

                                                                          (III.3.1.9)

            Тежестта за опорните точки е възможно да се определи и по МНМК като се образува полином (определящ интерполационната повърхнина). В някои случай обаче усложненият вид на този полином може да доведе до сериозно отклонение на моделната повърхнина от реалната.

            Счита се че опорните точки, намиращи се непосредствено до дадените точки очертават скелетни линии на терена и фиксират характерни теренни места. Подробните точки трябва да определят дискретно една гладка повърхнина. Възможен подход е да се използва диференциално уравнение гарантиращо необходимата гладкост на моделната повърхнина. Може да се използва Лапласовото диференциално уравнение от вида (III.3.1.10):

                                                                                                          (III.3.1.10)

            Ако предположим, че функцията Z(X,Y) e зададена дискретно върху една в общия случай правоъгълна мрежа, то удовлетворяването на Лапласовото уравнение изисква:

Z_XX = Z_YY = 0                                                                                                       (III.3.1.17)

,където Z_XX и Z_YY ще се изчисляват по формули (III.3.1.16), така че:

            Ако повърхнината удовлетворява Лапласовото уравнение е необходимо за всеки възел от мрежата да бъде изпълнено условието (III.3.1.20) или производно от него. При мрежа от квадрати () може да стигне до (III.3.1.21).

                                                                        (III.3.1.21)

            Уравнение (III.3.1.21) се използва за решаване на класическата задача на Дирихле, представляваща решение на диференциалното уравнение на Лаплас.

           ,                                                                                             (III.3.1.22)

            в област R , за чиято граница функцията е известна.

            Ако се използва формула (III.3.1.20) и се организира един Гаус-Зайдеров итерационен процес за определяне на височините на подробните точки на точките от план- квадратната мрежа, то получената повърхнина ще удовлетворява Лапласовото уравнение само за подробните точки (за опорните то няма да се удовлетворява). Гладка повърхнина може да се построи чрез итерационният процес дефиниран от уравнението (III.3.1.23).

                                                                    (III.3.1.23)

            Ако точката (i,j) съвпада с опорна (с вече известна височина) то изчисление по (III.3.1.23) не се извършва. За граничните точки от повърхнината могат да се използват формули (III.3.1.24).

,където  е подходящо избрано положително число, в зависимост от точността на изчисление.

            Изложеният алгоритъм води до леко заглаждане на повърхнината на терена –изпъкналите елементи се сплескват, а вдлъбнатите се изравняват.

            При нерегулярният начин за създаване на ЦМР функциите (3.1.25) с които се получават точките от повърхнината се нарича предсказна или прогнозна. Тя може да бъде от различен вид (линейна, билинейна, сплайнова и т.н.). В общият случай тя е полиномен израз от вида:

                                                                       (III.3.1.26)

III.3.2.Нерегулярен метод

            В този случай най-често точките от преките измервания се свързват в непокриващи се триъгълници, които се явяват фасетките на повърхнината.

            Един от алгоритмите за построяване на мрежа от непокриващи се триъгълници е следният:

Задачата се формулира по следния начин: Зададено е множеството точки , разположени по произволен начин във вътрешността или във върховете на изпъкналия многоъгълник G. Необходимо е във вътрешността на многоъгълника G да се построят непокриващи се триъгълници, чийто върховен да бъдат точки от множеството {A_n}, така че цялата област G да бъде покрита.

Двойната площ на триъгълника (фиг. III.3.2.1) се определя по формули (III.3.2.2):

                                                       

            За детерминантата от дясната страна на (III.3.2.2) важи означението det (i,j,k).

            Може да се докаже, че:

                                                             (III.3.2.3)

От (III.3.2.3) се вижда че знакът на площта F зависи от подредеността на (i,j,k). Ако подреждането е в посока на часовниковата стрелка F>0, a при подреждане в обратна посока F<0.

За случаите на (фиг. III.3.2.1) имаме:

За (фиг. III.3.2.1а)  det (i,j,k) > 0, а за (фиг. III.3.2.1б)  det (i,j,k) < 0,

Ако се знае знака на det (i,j,k), веднага може да се определи точка k от коя страна (в коя полуравнина ) е.

            Алгоритъма се състои от една подготвителна стъпка и краен брой еднообразни изпълнителни стъпки.

            При подготвителната стъпка от множеството {A_n} се избира една точка A_no, за която знаем че лежи във вътрешността на изпъкналия многоъгълник G .

След това се избират две точки {A_n1, A_n2 }, принадлежащи на множеството {A_n}, така че точките {A_no, A_n1, A_n2 }⁽¹⁾ да образуват триъгълник с минимален периметър и площ, отлична от нула. За тази цел като A_n1 избираме онази точка от множеството {A_n}, която се намира най-близо до A_no. Определянето на A_n2 се извършва при спазване на условията (III.3.2.4):

                          (III.3.2.4)

Нека приемем следните пояснения:

            Затворена страна на триъгълник {A_no, A_n1, A_n2 } наричаме тази от неговите страни, върху която вече е построен друг триъгълник {A_jo, A_j1, A_j2 }, удовлетворяващ условията:

• площта му да е не нулева;
• нито една от неговите страни да не се пресича със страните на някои от вече построените триъгълници;
• от множеството триъгълници, удовлетворяващи горните условия, триъгълникът {A_jo, A_j1, A_j2 } да бъде с минимален периметър.

            Гранична страна на триъгълника {A_no, A_n1, A_n2 } се нарича тази, за която от множеството от точки {A_n} не може да се намери такава, която да образува триъгълник, затварящ тази страна. Гранична страна е и страна на изпъкналия многоъгълник G.

            Затворена точка A_n е точка, която в процеса на построяването на системата от непокриващи се триъгълници участва в образуване на подмножество триъгълници, така че всичките страни, излизащи от A_n да са гранични или затворени.

            Изпълнителната стъпка се състои в затваряне на страната на един от триъгълниците , който е бил построен на предхождащите J-стъпки (ако става въпрос за J+1-вата стъпка) и изключване от по-нататъшно разглеждане на затворените точки.

            Необходимо е да се изпълнят следните операции:

1.От страните на триъгълниците , построени в резултат на предшествуващите стъпки, избираме първата незатворена и не гранична страна. Нека това да е странатаA_n11,A_n12 , принадлежаща на триъгълника {A_mo, A_m1, A_m2 }. Ако в списъка на страните от мрежата не се открие незатворена страна, то системата непокриващи се триъгълници е построена.

2.Ако в списъка на страните такава страна се открие, избираме две незатворени страни, излизащи от точки A_m1 и A_m2. Нека това да са страните (A_m1, A_m2 ) и (A_m2, A_m3 ) и нека тези страни принадлежат на триъгълниците {A_m1, A_m3, A_m4 } и {A_m2, A_m5, A_m6 } , всеки от които принадлежи на множеството триъгълници

3.Нека от множеството незатворени точки {"A_n}, точката A_m0 удовлетворява изискването:

и не противоречи на нито едно от следните условия:

III.3.3.Интерполационни методи

      

• методи, чрез интерполиране на безкраен (неограничен) брой данни (например всички точки от даден сегмтрансфинитни ент);
• методи, представящи повърхнините като тензорно произведение на полиноми;
• интерполация над правилна мрежа от триъгълни парчета с върхове в зададени точки, които поради простотата на формата си позволяват бързи и ефективни алгоритми.

III.3.3.1.Точкови методи

            Точковите методи интерполират търсената повърхнина по дадени неравномерно разпръснати точки. (scatter data interpolation). Такива са методите на Шепърт. За тях е характерно  измененията в дадена точка да се счита, че се отразяват на цялата повърхнина, затова те се наричат и глобални. При тях повърхнината се задава:

с точките ( u_i, v_i ) и стойностите P, тогава търсената повърхнина се интерполира по  P;

с тангенциалните вектори ( a_i, b_i ) като се дефинира P(u,v), където:

                                                                      (III.3.3.1.1)     

В този случай P(u,v) се интерполира по p(u,v) като тангенциална равнина в P.

            Методите, основани на неравномерна триангулация (irregular triangulation), наричани често локални, използват първоначално двумерна  триангулация на точки (u_iv_i) в равнината (u,v) след което се строи частично непрекъсната функция по тези триъгълни парчета. И тук е възможно подобряване на точността  чрез използване на тангенциалната равнина или производни от по-висок ред.

 

III.3.3.2.Методи с интерполация по части

            Интерполационните методи (paten methods) са най-широко разпространени в съвременните системи за геометрично моделиране. При тях връзките между формата на повърхнината и множеството от точки е явна – чрез така наречените контролни точки. Чрез интерактивно изменение на положението на контролните точки се достига до желаната форма.

III.3.3.3. Трансфинитни методи

            При тях се използва съвместяване с два вида гранични криви, зададени с линейни и нелинейни гладки функции. Две по две срещуположните страни на интерполационното парче са  от един и същи вид. Този метод се илюстрира с повърхнината на Бал, конструирана  от конични сегменти, зададени с рационални функции от втора степен, свързани от линейни сегменти, зададени съответно с линейни функции (фиг. III.3.3.3.1)

                                                                                                                                                                                           

                                                           фиг. III.3.3.3.1            

                                                           фиг. III.3.3.3.2

III.3.3.4.Представяне на повърхнини с помощта на регулярна мрежа от триъгълни интерполационни парчета (Triangular patch surfaces)

            Тези методи намират широко приложение при методите на крайните елементи. Най- често се използват методът на Безие и методът на Кастелджо.

Триъгълно интерполационно парче на Безие се задава с израза:  

                                                           фиг. III.3.3.4.3

III.3.3.5.Билинейни повърхнини на Кунс  

  

                                                           фиг. III.3.3.5.3

III.3.3.6.Бикубични повърхнини на Кунс

            За интерполационни полиноми се използват полиномите на Ермит. Дефинират се операторите:

            Ако към началните условия се добавят и частните производни, изпълняващи условията за съвместимост в краищата на правоъгълното парче се получава обобщена форма за повърхнината на Кунс.

III.3.3.7.Повърхнини на Гордон

            При този метод се интерполира по мрежа взаимно пресичащи се две по две криви:

III.3.3.9.Мономиална форма

                                               фиг. III.3.3.10.2

 

 

 

III.3.3.11.Форма на Безие

                                               фиг. III.3.3.11.1

                       

                       

                                                           фиг. III.3.3.12.3